Question

【題目】已知函數．

（1）當a為何值時，x軸為曲線的切線；

（2）設函數，討論在區間（0，1）上零點的個數．

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】

（1）求得的導數，設切點為，可得，解方程可得所求值；（2）求的解析式和導數，討論當時，當時，當時，結合函數的單調性和函數零點存在定理，即可得到所求零點個數．

（1）的導數為，

設切點為，可得，

即，

解得；

（2），

當時，，在（0，1）遞增，可得

，，有一個零點；

當時，，在（0，1）遞減，，

在（0，1）無零點；

當時，在（0，）遞增，在（，1）遞減，

可得在（0，1）的最大值為，

①若＜0，即，在（0，1）無零點；

②若=0，即，在（0，1）有一個零點；

③若＞0，即，

當時，在（0，1）有兩個零點；

當時，在（0，1）有一個零點；

綜上可得，a＜時，在（0，1）無零點；

當a=或a≥時，在（0，1）有一個零點；

當＜a＜時，在（0，1）有兩個零點．