Question

【題目】設{an}是首項為a，公差為d的等差數列（d≠0），Sn是其前n項和．記bn= ，n∈N* ， 其中c為實數．
（1）若c=0，且b1 ， b2 ， b4成等比數列，證明：Snk=n2Sk（k，n∈N*）；
（2）若{bn}是等差數列，證明：c=0．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：若c=0，則an=a1+（n﹣1）d， ， ．

當b1，b2，b4成等比數列時，則 ，

即： ，得：d2=2ad，又d≠0，故d=2a．

因此： ， ， ．

故： （k，n∈N*）．

（2）

證明：

=

= ． ①

若{bn}是等差數列，則{bn}的通項公式是bn=An+B型．

觀察①式后一項，分子冪低于分母冪，

故有： ，即 ，而 ，

故c=0．

經檢驗，當c=0時{bn}是等差數列．

【解析】（1）寫出等差數列的通項公式，前n項和公式，由b1 ， b2 ， b4成等比數列得到首項和公差的關系，代入前n項和公式得到Sn ， 在前n項和公式中取n=nk可證結論；
（2）把Sn代入 中整理得到bn= ，由等差數列的通項公式是an=An+B的形式，說明 ，由此可得到c=0．
【考點精析】本題主要考查了等差數列的前n項和公式和等比關系的確定的相關知識點，需要掌握前n項和公式：；等比數列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進行判斷才能正確解答此題．