Question

定義在R上的奇函數f（x）和定義在{x|x≠0}上的偶函數g（x）分別滿足f（x）=

2x-1(0≤x≤1) 1 x (x≥1)

，g（x）=log₂x（x＞0），若存在實數a，使得f（a）=g（b）成立，則實數b的取值范圍是（　　）

• A、[-2，2]
• B、[-2，-

  1

  2

  ]∪[

  1

  2

  ，2]
• C、[-

  1

  2

  ，0）∪（0，

  1

  2

  ]
• D、（-∞，-2]∪[2，+∞）

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：先求x≥0時，f（x）的值域為[0，1]，再由f（x）是定義在R上的奇函數，求出x≤0時f（x）的值域為[-1，0]，
從而得到在R上的函數f（x）的值域為[-1，1]．由g（x）為偶函數，求出g（x）的表達式，由條件可令-1≤
log₂|b|≤1．解出即可．

解答：解：∵f（x）=

2x-1(0≤x≤1) 1 x (x≥1)

，
∴當0≤x≤1時，2^x-1∈[0，1]，
當x≥1時，

1

x

∈（0，1]，
即x≥0時，f（x）的值域為[0，1]，
∵f（x）是定義在R上的奇函數，∴x≤0時f（x）的值域為[-1，0]，
∴在R上的函數f（x）的值域為[-1，1]．
∵定義在{x|x≠0}上的偶函數g（x），x＞0的g（x）=log₂x，
∴g（x）=log₂|x|（x≠0）
∵存在實數a，使得f（a）=g（b）成立，
∴令-1≤g（b）≤1．
即-1≤log₂|b|≤1．
即有

1

2

≤|b|≤2，
∴

1

2

≤b≤2或-2≤b≤-

1

2

．
故選：B．

點評：本題考查分段函數及運用，考查分段函數值域，注意各段的情況，考查函數的奇偶性及應用，考查對數不等式的解法，屬于中檔題．