Question

【題目】已知圓C：x2+y2﹣4x﹣4y+4=0，點E（3，4）．
（1）過點E的直線l與圓交與A，B兩點，若AB=2 ，求直線l的方程；
（2）從圓C外一點P（x1 ， y1）向該圓引一條切線，切點記為M，O為坐標原點，且滿足PM=PO，求使得PM取得最小值時點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：圓C方程可化為（x﹣2）2+（y﹣2）2=4

當直線l與x軸垂直時，滿足 ，所以此時l：x=3

當直線l與x軸不垂直時，設直線l方程為y﹣4=k（x﹣3），

即y=kx﹣3k+4

因為 ，所以圓心到直線的距離

由點到直線的距離公式得 解得

所以直線l的方程為

所以所求直線l的方程為x=3或

（2）解：因為PM=PO， ，

化簡得y1+x1﹣1=0

即點P（x1，y1）在直線y+x﹣1=0上，

當PM最小時，即PO取得最小，此時OP垂直直線y+x﹣1=0

所以OP的方程為y﹣x=0

所以 解得

所以點P的坐標為

【解析】（1）⊙C：x2+y2+2x﹣4y+3=0，化為標準方程，求出圓心C，半徑r．分類討論，利用C到l的距離為1，即可求直線l的方程；（2）設P（x，y）．由切線的性質可得：CM⊥PM，利用|PM|=|PO|，可得y+x﹣1=0，求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，即求原點O到直線y+x﹣1=0的距離．