Question

當p₁，p₂，…，p_n均為正數時，稱

n

p1+p2+…+pn

為p₁，p₂，…，p_n的“均倒數”．已知數列{a_n}的各項均為正數，且其前n項的“均倒數”為

1

2n+1

．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設cn=

an

2n+1

（n∈N^*），試比較c_n+1與c_n的大小；
（3）設函數f(x)=-x2+4x-

an

2n+1

，是否存在最大的實數λ，使當x≤λ時，對于一切正整數n，都有f（x）≤0恒成立？

Answer 1

分析：（1）利用a₁+a₂+…+a_n-1+a_n=n（2n+1），再寫一式，兩式相減，即可得到數列{a_n}的通項公式；
（2）利用作差法，即可得到c_n+1與c_n的大小；
（3）由（2）知數列 {c_n}是單調遞增數列，c₁=1是其的最小項．假設存在最大實數，使當x≤λ時，對于一切正整數n，都有f(x)=-x2+4x-

an

2n+1

≤0恒成立，即-x2+4x≤

an

2n+1

=cn（n∈N^*），利用右邊的最小值，建立不等式，即可得到結論．

解答：解：（1）a₁+a₂+…+a_n-1+a_n=n（2n+1），a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）（2n-1），兩式相減，得a_n=4n-1（n≥2）．
又

1

a1

=

1

2×1+1

，解得 a₁=3=4×1-1，
∴an=4n-1(n∈N+)…（4分）
（2）∵cn=

an

2n+1

=

4n-1

2n+1

=2-

3

2n+1

，cn+1=

an+1

2n+3

=2-

3

2n+3

，
∴cn+1-cn=

3

2n+1

-

3

2n+3

＞0，即c_n+1＞c_n．…（8分）
（3）由（2）知數列 {c_n}是單調遞增數列，c₁=1是其最小項，即c_n≥c₁=1．…（9分）
假設存在最大實數，使當x≤λ時，對于一切正整數n，都有f(x)=-x2+4x-

an

2n+1

≤0恒成立，…（11分）
則-x2+4x≤

an

2n+1

=cn（n∈N^*）．
只需-x²+4x≤c₁=1，即x²-4x+1≥0，解之得x≥2+

3

或 x≤2-

3

．
于是，可取λ=2-

3

…（14分）

點評：本題考查數列的通項，考查大小比較，考查解不等式，確定數列的通項與單調性是關鍵．