Question

已知動點P的軌跡方程為：-=1（x＞2），O是坐標原點．
①若直線x-my-3=0截動點P的軌跡所得弦長為5，求實數m的值；
②設過P的軌跡上的點P的直線與該雙曲線的兩漸近線分別交于點P₁、P₂，且點P分有向線段所成的比為λ（λ＞0），當λ∈[，]時，求||•||的最值．

Answer 1

【答案】分析：①先確定直線與雙曲線的右支相交，設兩個交點坐標分別為D（x_D，y_D）、E（x_E，y_E），由雙曲線的第二定義，求出|DF|、|EF|，從而可得|DE|，利用直線x-my-3=0截動點P的軌跡所得弦長為5，即可求得m的值；
②先確定P的坐標，進而可表示||•||，利用基本不等式及端點的函數值，即可求得||•||的最值．
解答：解：①由動點P的軌跡方程為：-=1（x＞2），∴直線x-my-3=0恒過雙曲線的右焦點F（3，0），于是直線與雙曲線的右支相交，
設兩個交點坐標分別為D（x_D，y_D）、E（x_E，y_E），
由雙曲線的第二定義得，∴|DF|=ex_D-a
同理|EF|=ex_E-a，∴|DE|=e（x_D+x_E）-2a
∵a=2，c=3，∴e=，∴|DE|=（x_D+x_E）-4
∵若直線x-my-3=0截動點P的軌跡所得弦長為5
∴（x_D+x_E）-4=5
∴x_D+x_E=6
由直線過右焦點F（3，0），知x_D=x_E=3，此時直線垂直于x軸，∴m=0．
②設P（x，y），P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），則
∴x=，y==
∵點P（x，y）在雙曲線：-=1上
∴-=1，化簡可得
∵=，=
∴=
令u==λ+2
∵λ∈[，]，∴λ=1時，λ+2取得最小值4
∵λ=時，u=，λ=時，u=，∴λ+2的最大值為
∴||•||的最小值為9，最大值為．
點評：本題考查直線與雙曲線的位置關系的綜合應用，考查化歸與轉化、分類與整合的數學思想，培養學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創新意識．