Question

已知動點P的軌跡方程為：

x2

4

-

y2

5

=1（x＞2），O是坐標原點．
①若直線x-my-3=0截動點P的軌跡所得弦長為5，求實數m的值；
②設過P的軌跡上的點P的直線與該雙曲線的兩漸近線分別交于點P₁、P₂，且點P分有向線段

P1P2

所成的比為λ（λ＞0），當λ∈[

3

4

，

3

2

]時，求|

OP1

|•|

OP2

|的最值．

Answer 1

分析：①先確定直線與雙曲線的右支相交，設兩個交點坐標分別為D（x_D，y_D）、E（x_E，y_E），由雙曲線的第二定義，求出|DF|、|EF|，從而可得|DE|，利用直線x-my-3=0截動點P的軌跡所得弦長為5，即可求得m的值；
②先確定P的坐標，進而可表示|

OP1

|•|

OP2

|，利用基本不等式及端點的函數值，即可求得|

OP1

|•|

OP2

|的最值．

解答：解：①由動點P的軌跡方程為：

x2

4

-

y2

5

=1（x＞2），∴直線x-my-3=0恒過雙曲線的右焦點F（3，0），于是直線與雙曲線的右支相交，
設兩個交點坐標分別為D（x_D，y_D）、E（x_E，y_E），
由雙曲線的第二定義得

|DF|

|xD- a2 c |

=e，∴|DF|=ex_D-a
同理|EF|=ex_E-a，∴|DE|=e（x_D+x_E）-2a
∵a=2，c=3，∴e=

3

2

，∴|DE|=

3

2

（x_D+x_E）-4
∵若直線x-my-3=0截動點P的軌跡所得弦長為5
∴

3

2

（x_D+x_E）-4=5
∴x_D+x_E=6
由直線過右焦點F（3，0），知x_D=x_E=3，此時直線垂直于x軸，∴m=0．
②設P（x，y），P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），則

y1= 5 2 x1 y2=- 5 2 x2

∴x=

x1+λx2

1+λ

，y=

y1+λy2

1+λ

=

5

2

×

x1-λx2

1+λ

∵點P（x，y）在雙曲線：

x2

4

-

y2

5

=1上
∴

(x1+λx2)2

4(1+λ)2

-

5

4

×

(x1-λx2)2

5(1+λ)2

=1，化簡可得x1x2=

(1+λ)2

λ

∵|

OP1

|=

3

2

|x1|，|

OP2

|=

3

2

|x2|
∴|

OP1

|•|

OP2

|=

9

4

|x1x2|=

9

4

×

(1+λ)2

λ

令u=

(1+λ)2

λ

=λ+

1

λ

+2
∵λ∈[

3

4

，

3

2

]，∴λ=1時，λ+

1

λ

+2取得最小值4
∵λ=

3

4

時，u=

49

12

，λ=

3

2

時，u=

25

6

，∴λ+

1

λ

+2的最大值為

25

6

∴|

OP1

|•|

OP2

|的最小值為9，最大值為

75

8

．

點評：本題考查直線與雙曲線的位置關系的綜合應用，考查化歸與轉化、分類與整合的數學思想，培養學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創新意識．