Question

設(shè)直線l₁的方向向量是：

a

=(1+cosα，sinα)，α∈(0，π)，直線l₂的方向向量為

b

=(1-cosβ，sinβ)，β∈（π，2π），直線l₃的方向得量是

c

=(1，0)，l₁與l₃的夾角為θ₁，l₂到l₃的角為θ₂，若θ1-θ2=

π

6

，試求sin(π+

α-β

4

)的值．

Answer 1

分析：根據(jù)直線的方向向量分別求出直線的斜率，再根據(jù)到角、夾角公式將θ1-θ2=

π

6

，轉(zhuǎn)化為α，β的關(guān)系，整體代入求解．

解答：解：由題意得l₁的斜率k1=

sinα

1+cosα

=

2sin α 2 cos α 2

1+2cos2 α 2 -1

=tan

α

2

，
∵l₃的方向向量是

c

=(1，0)，
∴k₃=0，
∴l(xiāng)₁與l₃的夾角為tanθ₁=|tan

α

2

|，又α∈（0，π），
∴θ₁=

α

2

l₂的斜率k2=

sinβ

1-cosβ

=

2sin β 2 cos β 2

1-(1-2sin2 β 2 )

=cot

β

2

∴l(xiāng)₂到l₃的角tanθ₂=-cot

β

2

，
∵β∈（π，2π），
∴θ₂=

β

2

-

π

2

∵θ1-θ2=

π

6

，
∴

α

2

-（

β

2

-

π

2

）=

π

6

，
∴

α-β

2

=-

π

3

，
∴sin(π+

α-β

4

)=-sin(

α-β

4

)=-sin(-

π

6

)=

1

2

點(diǎn)評：本題考查直線的方向向量的集合意義，直線到角、夾角公式，以及三角函數(shù)式的化簡求值．