Question

(1)設a、b分別是直線l₁、l₂的方向向量,根據下列條件判斷l₁與l₂的位置關系:

①a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3);

②a=(5,0,2),b=(0,4,0);

③a=(-2,1,4),b=(6,3,3).

(2)設u、v分別是平面α、β的法向量,根據下列條件判斷α、β的位置關系:

①u=(1,-1,2),v=(3,2,-);

②u=(0,3,0),v=(0,-5,0);

③u=(2,-3,4),v=(4,-2,1).

(3)設u是平面α的法向量,a是直線l的方向向量,根據下列條件判斷α和l的位置關系:

①u=(2,2,-1),a=(-3,4,2);

②u=(0,2,-3),a=(0,-8,12);

③u=(4,1,5),a=(2,-1,0).

Answer 1

解：(1)①因為a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3),所以a=-b.

所以a∥b.所以l₁∥l₂.

②因為a=(5,0,2),b=(0,4,0),所以a·b=0.

所以a⊥b.所以l₁⊥l₂.

③因為a=(-2,1,4),b=(6,3,3),所以a與b不共線,也不垂直,所以l₁與l₂的位置關系是相交或異面.

(2)①因為u=(1,-1,2),v=(3,2,-),所以u·v=3-2-1=0.所以u⊥v.所以α⊥β.

②因為u=(0,3,0),v=(0,-5,0),

所以u=-v.所以u∥v.所以α∥β.

③因為u=(2,-3,4),v=(4,-2,1),

所以u與v既不共線,也不垂直.

所以平面α和β相交(不垂直).

(3)①因為u=(2,2,-1),a=(-3,4,2),所以u·a=-6+8-2=0.所以u⊥a.所以直線l和平面α的位置關系是lα或l∥α.

②因為u=(0,2,-3),a=(0,-8,12),所以u=-a.所以u∥a.所以l⊥α.

③因為u=(4,1,5),a=(2,-1,0),所以u和a不共線也不垂直,所以l與α相交(斜交).

綠色通道：

第(1)小題直線方向向量與直線位置關系間的內在聯系是:l₁∥l₂a∥b,l₁⊥l₂a⊥b,據此可判斷兩直線的位置關系;第(2)小題平面法向量與兩平面位置關系間的內在聯系是:α∥βu∥v,α⊥βu⊥v,據此可判斷兩平面的位置關系;第(3)小題直線方向向量與平面法向量的關系和直線與平面位置關系之間的內在聯系是:l∥αa⊥u,l⊥αa∥u.解答上述三類問題的關鍵:一是要搞清直線方向向量、平面法向量和直線、平面位置關系之間的內在聯系,二是要熟練掌握判斷兩向量共線、垂直等的重要條件.