Question

【題目】給定公差大于0的有限正整數等差數列，其中，為質數．甲、乙兩人輪流從個石子中取石子，規定：每次每人可取個石子，取走的石子不再放回，甲先取，取到最后一個石子者為勝．試問：誰有必勝策略？

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

設，其中，．

令，．

那么，當時，乙有必勝策略；當時，甲有必勝策略；當時，兩人都有不輸的策略．

證明如下：

（1）當時，乙的策略為：若甲取個石子，則由等差數列的性質，存在，使，乙取個石子．這樣，乙每次都保證他取后剩下的石子數模余0，這使得甲每次都不能使他取后剩下的石子數模余0，從而，甲無法取到最后一個石子．又每次操作，甲、乙合起來共取個石子，而是的倍數，若干次操作后，石子全部取走，乙可取到最后一個石子，故乙獲勝．

（2）當時，甲的策略為：先取走個石子，則剩下的石子數模余0，轉化為前面的情形（1），故甲獲勝．

（3）當時，證明兩人都有不輸的策略．

由于，考察模數列．

因為的各項互不相同，所以，的各項互不相同．由此可以斷言的各項不能都屬于．

否則，是的一個排列，所以，

，即．

則．

又 ，

可得．故．

因為為質數，所以，或．

但，，矛盾，所以，中至少有一項，設為，它不屬于．又由可知，．

從而，．

由此可見，甲可取個石子，使剩下的石子數模的余數仍屬于，下一次操作無法取走所有石子．

類似地，乙也有同樣的策略，直至無法取出石子，游戲終止．

于是，兩人都有不輸的策略．