Question

【題目】如圖，線段、交于點，在的延長線上任取一點，得凸四邊形，求證：、、的外接圓三圓共點。

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

記與的外接圓分別為圓、圓，因為兩圓已知有一個公共點，所以，兩圓的位置或是相切或是相交。

（1）圓、圓相切。由于點在圓內部，因此，圓內切于圓，切點為，

如圖，記與圓交于，聯結，過作兩圓的公切線。由弦切角定理得

又由圓內接四邊形對角互補得。

因此，.所以，、、、四點共圓。

這說明、、的外接圓三圓共點。

（2）圓、圓相交。記兩圓的另一交點為，當為或時，就是三個外接圓的公共點；當既不是也不是時，分以下四種情況討論。

（i）如圖，在之外，聯結、、，則，所以，、、、四點共圓。這說明、、的外接圓三圓共點。

（ii）如圖，在內，聯結、、，則，又由圓內接四邊形對角互補得。因此，，所以，、、、四點共圓，這說明、、的外接圓三圓共點。

（iii）如圖，在之外，證明同（i）。

（iv）如圖，在內，證明同（ii）。綜上，、、的外接圓三圓共點。