Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形是等腰梯形， ， ， 平面， ， ．

（1）求證： 平面；

（2）求直線與平面所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)直線與平面所成角的余弦值為.

【解析】試題分析：（1）要證線面平行，先找線線平行，先證平面AED⊥平面ABCD，做過E作EG⊥AD于G，則EG⊥平面ABCD，∴FC∥EG，進而得到線面平行；（2）建系，求面的法向量和線的方向向量，根據向量夾角得到線面角，即可。

解析：

（Ⅰ）證明：∵四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，

∴BC=DC，∠ADC=∠BCD=120°，∴∠CDB=30°，

∴∠ADB=90°，即BD⊥AD．

又AE⊥BD， =A，∴BD⊥平面AED，

又BD平面ABCD，∴平面AED⊥平面ABCD．

如圖4，過E作EG⊥AD于G，則EG⊥平面ABCD，

又FC⊥平面ABCD，∴FC∥EG．

又EG平面AED，FC平面AED，

∴FC∥平面AED．

（Ⅱ）解：如圖5，連接AC，由（Ⅰ）知AC⊥BC，

∵FC⊥平面ABCD，

∴CA，CB，CF兩兩垂直．

以C為原點，建立空間直角坐標系Cxyz．

設BC，則AC，AB，

， ， ，

，∴，

， ．

設平面BDF的法向量為，

則 即

令，則， ，則．

設直線AF與平面BDF所成角為，則，

故直線AF與平面BDF所成角的余弦值為．