Question

【題目】平面直角坐標系xOy中，橢圓C：＋＝1 (a>b>0)的離心率是，拋物線E：x2＝2y的焦點F是C的一個頂點．

(1)求橢圓C的方程；

(2)設P是E上的動點，且位于第一象限，E在點P處的切線l與C交于不同的兩點A，B，線段AB的中點為D.直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點M.

①求證：點M在定直線上；

②直線l與y軸交于點G，記△PFG的面積為S1，△PDM的面積為S2，求的最大值及取得最大值時點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見解析；②的最大值為，此時點P的坐標為.

【解析】試題分析：(1)利用離心率、拋物線的焦點進行求解；(2)①設出點的坐標和直線的方程，聯立直線和橢圓的方程，得到關于的一元二次方程，利用根與系數的關系進行求解；②利用點到直線的距離公式、弦長公式和函數的性質進行求解.

試題解析：(1)由題意知＝，

可得a2＝4b2，因為拋物線E的焦點為F，所以b＝，a＝1，

所以橢圓C的方程為x2＋4y2＝1.

(2)①證明　設P (m>0)，由x2＝2y，可得y′＝x，所以直線l的斜率為m，因此直線l的方程為y－＝m(x－m)，

即y＝mx－.

設A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．

聯立方程

得(4m2＋1)x2－4m3x＋m4－1＝0.

由Δ>0，得0<m< (或0<m2<2＋)．(*)

且x1＋x2＝，因此x0＝，將其代入y＝mx－，

得y0＝，因為＝－.

所以直線OD的方程為y＝－x，

聯立方程

得點M的縱坐標yM＝－，

所以點M在定直線y＝－上．

②由①知直線l的方程為y＝mx－，令x＝0，得y＝－，

所以G，

又P，F，D，

所以S1＝·|GF|·m＝，

S2＝·|PM|·|m－x0|＝××＝，

所以＝.

設t＝2m2＋1，則＝

＝＝－＋＋2，

當＝，即t＝2時，取到最大值，

此時m＝，滿足(*)式，所以P點坐標為.

因此的最大值為，此時點P的坐標為.