Question

【題目】如圖，某大型水上樂園內有一塊矩形場地米， 米，以為直徑的半圓和半圓（半圓在矩形內部）為兩個半圓形水上主題樂園， 都建有圍墻，游客只能從線段處進出該主題樂園.為了進一步提高經濟效益，水上樂園管理部門決定沿著修建不銹鋼護欄，沿著線段修建該主題樂園大門并設置檢票口，其中分別為上的動點， ，且線段與線段在圓心和連線的同側.已知弧線部分的修建費用為元/米，直線部門的平均修建費用為元/米.

（1）若米，則檢票等候區域（其中陰影部分）面積為多少平方米？

（2）試確定點的位置，使得修建費用最低.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當為時，修建費用最低.

【解析】試題分析：

（1）設直線矩形交于兩點，則陰影部分的面積為矩形的面積減去梯形和扇形與扇形的面積．（2）設，則，故，從而可得修建費用，利用導數求解，可得當時，即， 有最小值，即修建費用最低．

試題解析：

（1）如圖,設直線矩形交于兩點，連，則米， 米．

梯形的面積為平方米，

矩形的面積為平方米，

由，得扇形和扇形的面積均為平方米，

故陰影部分面積為平方米．

（2）設，則，

所以，

修建費用，

所以，

令，得，

當變化時， 的變化情況如下表：

		0
		極小值

由上表可得當時，即， 有極小值，也為最小值．

故當為時，修建費用最低．