Question

已知圓C：（x-2）²+y²=3此圓和直線x+ay+1=0在x軸上方有兩個交點A、B，坐標原點為O，△AOB的面積為S．
（1）求實數a的取值范圍；
（2）求S關于a的函數關系式，并求S的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將直線與圓的方程聯立，利用圓和直線在x軸上方有兩個交點A、B，結合韋達定理，建立不等式，從而可求實數a的取值范圍；
（2）利用直線與圓的相交弦|AB|=2

R2-d2

，結合△AOB的面積公式

1

2

×|AB|×H（原點到直線的距離），可建立關于a的函數，再利用基本不等式求函數的最值即可．

解答：解：（1）由題意得

x+ay+1=0 (x-2)2+y2=3

⇒（a²+1）y²-6ay+6=0，
∵圓和直線x+ay+1=0在x軸上方有兩個交點，
∴

y1+y2= 6a a2+1 ＞0 y1•y2= 6 a2+1 ＞0 △=12a2-24＞0

⇒a＞

2

．
故實數a的取值范圍是（

2

，+∞）．
（2）圓心M（2，0），圓心到直線的距離d=

3

a2+1

，
∴|AB|=2×

R2-d2

=2

3- 9 a2+1

，
O到直線的距離H=

1

a2+1

，
∴S_△AOB=

1

2

×|AB|×H=

1

2

×2×

3a2-6 a2+1

×

1

a2+1

=

3

×

1

(a2-2)+6+ 9 a2-2

．
∵a＞

2

，∴（a²-2）+

9

a2-2

≥2×3=6，
∴S_△AOB≤

3

×

1

6+6

=

1

2

．
故△AOB的面積S的取值范圍是（0，

1

2

]．

點評：本題重點考查直線與圓的位置關系，考查韋達定理的應用，考查三角形面積的計算及函數思想的應用，綜合性強．