【題目】已知函數
.
（1）證明：
；
（2）當
時，不等式
恒成立，求實數
的最大值和
的最小值.
【答案】（1）證明見解析（2）
的最大值為
，
的最小值為1
【解析】
（1）當
時，對函數進行求導，利用導數可以求出函數的最小值，利用奇偶性再進行判斷即可；
（2）化簡
，不等式可以轉化為：
，
，令
，求導，根據
的不同取值，判斷出函數的單調性，最后分類討論進行求解即可.
（1）當時，
，
，
當
時，
，則
，
當
時，
，則
，
則當時，
，
在
上為增函數，
，
又函數為偶函數，則對任意
，
成立，
（2）
，
當
時，
，即為，
，即為，
令，則
，
當
時，在
上，
，
在
上為增函數，
；
當
時，在上，
，在上為減函數，
；
當
時，存在唯一的
，使得
，
與
在區間上的情況如下：
|
|
|
|
| + | 0 | － |
| 增 | 極大值 | 減 |
在區間
上是增函數，
，
進一步，當時
，當且僅當
，
可得
.
綜上所述，當且僅當
時，
在上恒成立；
當且僅當時，
在上恒成立，
所以的最大值為，的最小值為1.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設數列
的前
項和為
，
，
.
（1）求數列的通項公式；
（2）設數列
滿足：
對于任意，都有
成立.
①求數列的通項公式；
②設數列
，問：數列
中是否存在三項，使得它們構成等差數列？若存在，求出這三項；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某大型運動會的組委會為了搞好接待工作，招募了30名男志愿者和20名女志愿者.調查發現，這些志愿者中有部分志愿者喜愛運動，另一部分志愿者不喜歡運動，并得到了如下等高條形圖和
列聯表:
喜愛運動 | 不喜愛運動 | 總計 | |
男生 |
|
| 30 |
女生 |
|
| 20 |
總計 | 50 |
（1）求出列聯表中
的值；
（2）是否有
的把握認為喜愛運動與性別有關?附:參考公式和數據:
，（其中
）
0.500 | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
| 0.455 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2019年安慶市在大力推進城市環境、人文精神建設的過程中，居民生活垃圾分類逐漸形成意識.有關部門為宣傳垃圾分類知識，面向該市市民進行了一次“垃圾分類知識"的網絡問卷調查，每位市民僅有一次參與機會，通過抽樣，得到參與問卷調查中的1000人的得分數據，其頻率分布直方圖如圖：
（1）由頻率分布直方圖可以認為，此次問卷調查的得分Z服從正態分布
，
近似為這1000人得分的平均值（同一組數據用該區間的中點值作代表），利用該正態分布，求P（
）；
（2）在（1）的條件下，有關部門為此次參加問卷調查的市民制定如下獎勵方案：
（i）得分不低于可獲贈2次隨機話費，得分低于則只有1次：
（ii）每次贈送的隨機話費和對應概率如下：
贈送話費（單位：元） | 10 | 20 |
概率 |
|
|
現有一位市民要參加此次問卷調查，記X（單位：元）為該市民參加問卷調查獲贈的話費，求X的分布列.附：
，若
，則
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓 
的焦距為
，斜率為
的直線與橢圓交于
兩點，若線段
的中點為
，且直線
的斜率為
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）若過左焦點
斜率為
的直線
與橢圓交于點
為橢圓上一點，且滿足
，問：
是否為定值？若是，求出此定值，若不是，說明理由.
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