Question

【題目】已知橢圓 的焦距為，斜率為的直線與橢圓交于兩點，若線段的中點為，且直線的斜率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若過左焦點斜率為的直線與橢圓交于點 為橢圓上一點，且滿足，問：是否為定值？若是，求出此定值，若不是，說明理由.

Answer 1

【答案】(1) .

(2) 為定值.過程見解析.

【解析】分析：（1）焦距說明，用點差法可得＝.這樣可解得，得橢圓方程；

（2）若，這種特殊情形可直接求得，在時，直線方程為，設，把直線方程代入橢圓方程，后可得，然后由紡長公式計算出弦長，同時直線方程為，代入橢圓方程可得點坐標，從而計算出，最后計算即可.

詳解：（1）由題意可知，設，代入橢圓可得：

，兩式相減并整理可得，

，即.

又因為，，代入上式可得，.

又，所以，

故橢圓的方程為.

（2）由題意可知，，當為長軸時，為短半軸，此時

；

否則，可設直線的方程為，聯立，消可得，

，

則有：，

所以

設直線方程為，聯立，根據對稱性，

不妨得，

所以.

故，

綜上所述，為定值.