Question

【題目】已知點是拋物線的頂點，，是上的兩個動點，且.

（1）判斷點是否在直線上？說明理由；

（2）設點是△的外接圓的圓心，求點的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）點在直線上，理由見解析（2）

【解析】

（1）由拋物線的方程可得頂點的坐標，設直線的方程，與拋物線聯立求出兩根之和及兩根之積，求出數量積，再由題意可得直線恒過，即得在直線上；

（2）設，的坐標，可得直線，的斜率及線段，的中點坐標，進而求出線段，的中垂線的方程，兩個方程聯立求出外接圓的圓心的坐標，由（1）可得的橫縱坐標關于參數的表達式，消參數可得的軌跡方程．

(1) 點在直線上.理由如下，

由題意, 拋物線的頂點為

因為直線與拋物線有2個交點，

所以設直線AB的方程為

聯立得到，

其中，

所以，

因為

所以

，

所以，

解得，

經檢驗，滿足，

所以直線AB的方程為，恒過定點.

（2）因為點是的外接圓的圓心，所以點是三角形三條邊的中垂線的交點，

設線段的中點為，線段的中點為為，

因為，設，，，

所以，，，，，，

所以線段的中垂線的方程為：，

因為在拋物線上，所以，

的中垂線的方程為：，即，

同理可得線段的中垂線的方程為：，

聯立兩個方程，解得，

由（1）可得，，

所以，，

即點，所以，

即點的軌跡方程為：．