【題目】已知函數
.
（1）若
，求曲線
在點
處的切線；
（2）若函數
在其定義域內為增函數，求正實數
的取值范圍；
（3）設函數
，若在
上至少存在一點
，使得
成立，求實數
的取值范圍.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
.
【解析】試題分析：（1） 當
時， 
，求導，由
求出切線斜率及點
，即可求出切線方程；（2）由
在定義域區間
上恒成立得
，利用基本不等式求出函數
的最大值，即可求出
的取值范圍；（3）構造函數
，由在區間
上，函數
至少存在一點
使
，即由在區間
上
，求出
的范圍即可.
試題解析：已知函數
.
（1）
， 
，
， 
， 故切線方程為： 
.
（2）
，由
在定義域
內為增函數，所以
在
上恒成立，∴
即
，對
恒成立，設
， 
，
易知， 
在
上單調遞增，在
上單調遞減，則
，
∴
，即
.
（3）設函數
， 
，
則原問題
在
上至少存在一點
，使得
，
當
時， 
，則
在
上單調遞增， 
，舍；
當
時， 
，
∵
，∴
， 
， 
，則
，舍； 
當
時， 
，
則
在
上單調遞增， 
，整理得
，
綜上， 
.
口算能手系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】出一份
道題的數學試卷，試卷內的
道題是這樣產生的：從含有
道選擇題的題庫中隨機抽
道；從
道填空題的題庫中隨機抽
道；從
道解答題的題庫中隨機抽
道.使用合適的方法確定這套試卷的序號(選擇題編號為
，填空題編號為
，解答題編號為
).
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
： 
（
）的焦距為
，點
在
上.
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）設點
在
上，點
的軌跡為曲線
，過原點作直線
與曲線
交于
、
兩點，點
，證明： 
為定值，并求出定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=x2-3x+lnx．
（Ⅰ）求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）若對于任意的x1，x2∈（1，+∞），x1≠x2，都有
恒成立，求實數k的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
和直線
： 
，橢圓的離心率
，坐標原點到直線
的距離為
.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知定點
，若直線
過點
且與橢圓相交于
兩點，試判斷是否存在直線
，使以
為直徑的圓過點
？若存在，求出直線
的方程；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
是長軸長為
的橢圓
： 
上異于頂點的一個動點， 
為坐標原點， 
為橢圓的右頂點，點
為線段
的中點，且直線
與
的斜率之積恒為
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）設過左焦點
且不與坐標軸垂直的直線
交橢圓于
兩點，線段
的垂直平分線與
軸交于點
，點
橫坐標的取值范圍是
，求
的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知三條直線l1：4x＋y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my－4＝0.
(1)若直線l1，l2，l3交于一點，求實數m的值；
(2)若直線l1，l2，l3不能圍成三角形，求實數m的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某超市從現有甲、乙兩種酸奶的日銷售量（單位：箱）的1200個數據（數據均在區間
內）中，按照5%的比例進行分層抽樣，統計結果按
， 
， 
， 
， 
分組，整理如下圖：
（Ⅰ）寫出頻率分布直方圖（圖乙）中
的值；記所抽取樣本中甲種酸奶與乙種酸奶日銷售量的方差分別為
， 
，試比較
與
的大小（只需寫出結論）；
（Ⅱ）從甲種酸奶日銷售量在區間
的數據樣本中抽取3個，記在
內的數據個數為
，求
的分布列；
（Ⅲ）估計1200個日銷售量數據中，數據在區間
中的個數．
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