Question

【題目】已知橢圓： （）的焦距為，點在上.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設點在上，點的軌跡為曲線，過原點作直線與曲線交于、兩點，點，證明： 為定值，并求出定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）3

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意知：c= ，根據橢圓定義可求得a，根據b2=a2-c2可得b；（Ⅱ）分直線的斜率為0，不為0兩種情況進行討論：當直線的斜率為0時直接按照向量數量積運算即可；當直線的斜率不為0時，設直線的方程為： ， ， ．聯立直線方程與橢圓方程消掉y得x的一元二次方程，由韋達定理及向量數量積公式代入運算可得結論；

試題解析：

（Ⅰ）由已知得，解得， 橢圓的方程為.

（Ⅱ）由條件可得， 曲線的方程為.

當直線的斜率不存在時，不妨設， ，則， ， ；

當直線的斜率存在時，設其方程為，可設點， ，

則， ， ，

把點代入曲線的方程得， .

綜上可知， .