Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，a_n+2=

an+an+1

2

，n∈N^*．
（1）令b_n=a_n+1-a_n，證明：{b_n}是等比數列；
（2）求{a_n}的通項公式．

Answer 1

（1）證b₁=a₂-a₁=1，
當n≥2時，bn=an+1-an=

an-1+an

2

-an=-

1

2

(an-an-1)=-

1

2

bn-1，
所以{b_n}是以1為首項，-

1

2

為公比的等比數列．
（2）解由（1）知bn=an+1-an=(-

1

2

)n-1，
當n≥2時，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）++（a_n-a_n-1）=1+1+（-

1

2

）+…+(-

1

2

)n-2
=1+

1-(- 1 2 )n-1

1-(- 1 2 )

=1+

2

3

[1-(-

1

2

)n-2]=

5

3

-

2

3

(-

1

2

)n-1，
當n=1時，

5

3

-

2

3

(-

1

2

)1-1=1=a1．
所以an=

5

3

-

2

3

(-

1

2

)n-1(n∈N*)．