【題目】如圖，在圓心角為
，半徑為
的扇形鐵皮上截取一塊矩形材料
，其中點
為圓心，點
在圓弧上，點
在兩半徑上，現將此矩形鐵皮卷成一個以
為母線的圓柱形鐵皮罐的側面(不計剪裁和拼接損耗)，設矩形的邊長
，圓柱形鐵皮罐的容積為
.
（1）求圓柱形鐵皮罐的容積
關于
的函數解析式，并指出該函數的定義域；
（2）當為何值時，才使做出的圓柱形鐵皮罐的容積最大？最大容積是多少？ (圓柱體積公式：
，
為圓柱的底面枳，
為圓柱的高）
【答案】（1）
；（2）
，
.
【解析】分析：（1）先利用勾股定理可得OA,根據周長公式得半徑，再根據圓柱體積公式求V(x)，最后根據實際意義確定定義域，（2）先求導數，再求導函數零點，列表分析導函數符號變化規律，確定函數單調性，進而得函數最值.
詳解：（1）連接OB，在Rt△OAB中，由AB=x，利用勾股定理可得OA＝
，
設圓柱底面半徑為r，則＝2πr，
即4
＝3600－
，所以V(x)＝π
＝π·
·x＝
，
即鐵皮罐的容積為V(x)關于x的函數關系式為V(x)＝，定義域為(0，60).
（2）由V ′(x)＝
＝0，x∈(0，60)，得x＝20
．
列表如下：
x | (0，20 | 20 | (20 |
V ′(x) | ＋ | 0 | － |
V(x) | ↗ | 極大值V(20 | ↘ |
所以當x＝20時，V(x)有極大值，也是最大值為.
答：當x為20 cm時，做出的圓柱形鐵皮罐的容積最大，最大容積是.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】甲、乙、丙三名音樂愛好者參加某電視臺舉辦的演唱技能海選活動，在本次海選中有合格和不合格兩個等級．若海選合格記1分，海選不合格記0分．假設甲、乙、丙海選合格的概率分別為
，他們海選合格與不合格是相互獨立的．
（1）求在這次海選中，這三名音樂愛好者至少有一名海選合格的概率；
（2）記在這次海選中，甲、乙、丙三名音樂愛好者所得分之和為隨機變量
,求隨機變量的分布列和數學期望
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列命題中正確的是（ ）
A. 有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱
B. 有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱
C. 用一個平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺
D. 有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校在本校任選了一個班級，對全班50名學生進行了作業量的調查，根據調查結果統計后，得到如下的
列聯表，已知在這50人中隨機抽取2人，這2人都“認為作業量大”的概率為
.
| 認為作業量大 | 認為作業量不大 | 合計 |
男生 | 18 | ||
女生 | 17 | ||
合計 | 50 |
（Ⅰ）請完成上面的列聯表；
（Ⅱ）根據列聯表的數據，能否有
的把握認為“認為作業量大”與“性別”有關？
（Ⅲ）若視頻率為概率，在全校隨機抽取4人，其中“認為作業量大”的人數記為
，求的分布列及數學期望.
附表：
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
附：
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