Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）當時，求函數的極小值；

（Ⅱ）當時，討論的單調性；

（Ⅲ）若函數在區間上有且只有一個零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）由題意，當時，求得，得出函數的單調性，進而求解函數的極值；

（Ⅱ）由，由，得或，分類討論，即可得到函數的單調區間；

（Ⅲ）由（1）和（2），分當和，分類討論，分別求得函數的單調性和極值，即可得出相應的結論，進而得到結論.

解：（Ⅰ）當時：，令解得，

又因為當，，函數為減函數；

當，，函數為增函數.

所以，的極小值為.

（Ⅱ）.當時，由，得或.

(ⅰ)若，則.故在上單調遞增；

（ⅱ）若，則.故當時，；

當時，.

所以在，單調遞增，在單調遞減.

(ⅲ)若，則.故當時，；

當時，.

所以在，單調遞增，在單調遞減.

（Ⅲ）（1）當時，，令，得.

因為當時，，當時，，

所以此時在區間上有且只有一個零點.

（2）當時：

（ⅰ）當時，由（Ⅱ）可知在上單調遞增，且，，此時在區間上有且只有一個零點.

（ⅱ）當時，由（Ⅱ）的單調性結合，又，

只需討論的符號：

當時，，在區間上有且只有一個零點；

當時，，函數在區間上無零點.

(ⅲ)當時，由（Ⅱ）的單調性結合，，，此時在區間上有且只有一個零點.

綜上所述，.