Question

如圖所示，PA為圓的切線，A為切點，PBC是過點O的割線，PA=10，PB=5，的平分線與BC和圓分別交于點D和E。

（1）求證：；
（2）求AD·AE的值。

Answer 1

（ 1）直接根據∠PAB=∠ACP以及∠P公用，得到△PAB∽△PCA，進而求出結論；
（2）90

試題分析：（ I）直接根據∠PAB=∠ACP以及∠P公用，得到△PAB∽△PCA，進而求出結論；

（ II）先根據切割線定理得到PA2=PB•PC；結合第一問的結論以及勾股定理求出；再結合條件得到△ACE∽△ADB，進而求出結果．

解：（ I）∵PA為⊙O的切線， ∴∠PAB=∠ACP，…（1分） 又∠P公用，∴△PAB∽△PCA．…（2分） ∴．…（3分） （ II）∵PA為⊙O的切線，PBC是過點O的割線， ∴PA2=PB•PC．…（5分） 又∵PA=10，PB=5，∴PC=20，BC=15．…（6分） 由（ I）知，， ∵BC是⊙O的直徑， ∴∠CAB=90°． ∴AC2+AB2=BC2=225， ∴ …（7分） 連接CE，則∠ABC=∠E，…（8分） 又∠CAE=∠EAB， ∴△ACE∽△ADB， ∴ …（9分） ∴．…（10分）

 
點評：本題主要考查與圓有關的比例線段、相似三角形的判定及切線性質的應用．解決本題第一問的關鍵在于先由切線PA得到∠PAB=∠ACP．