Question

【題目】在等腰直角三角形中，，點是邊上異于的一點，光線從點出發(fā)，經(jīng)反射后又回到原點，光線經(jīng)過的重心.

（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，請求的重心的坐標(biāo)；

（2）求點的坐標(biāo)；

（3）求的周長及面積.

Answer 1

【答案】（1）坐標(biāo)系見解析，;（2）;（3）;

【解析】

（1）以為原點,為軸,為軸建立直角坐標(biāo)系,依次寫出的坐標(biāo),由重心公式求得重心即可；

（2）由光的反射具有對稱性,作關(guān)于的對稱點,關(guān)于的對稱點,則四點共線,設(shè),根據(jù)對稱性可得,,且在直線上,解出方程并將點坐標(biāo)代入即可求得,進而得到的坐標(biāo)；

（3）由（2）, 的周長轉(zhuǎn)化為的長,利用割補法將的面積轉(zhuǎn)化為的面積與的面積的差計算即可

（1）以為原點,為軸,為軸建立直角坐標(biāo)系,則,,,

所以根據(jù)重心公式可得重心為,即

（2）作關(guān)于的對稱點,關(guān)于的對稱點,由于光的反射原理,四點共線,

因為過重心,所以過重心,

設(shè),則,

因為,,所以直線為：,

設(shè),則,所以 ,即

則直線為,

由（1）,代入點,即,

所以或,

因為異于,

所以點為

（3）由（2）,,,

由于對稱性,則的周長為：,

直線為,即,

當(dāng)時,,則

聯(lián)立,解得,則,

所以的面積為：