Question

【題目】如圖，在底面是菱形的四棱錐中，，，，點在上，且．

（1）證明：面；

（2）在棱上是否存在一點，使三棱錐是正三棱錐？證明你的結論．

（3）求以為棱，與為面的二面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）證明詳見解析；（2）不存在點F，證明詳見解析；（3）

【解析】

（1）由已知求解三角形可知，，再由線面垂直判斷定理證明；

（2）若三棱錐是正三棱錐，那么點在底面的射影應是正三角形的中心，

利用（1）的結論可知平面,逐步可推得矛盾；

（3）作交于，交于點，連接，可證明是與為面的二面角的平面角，再求解交的大小.

證明：底面是菱形，，

，

中，由，則，

同理，

又，

平面；

（2）在棱上不存在點，使三棱錐是正三棱錐，

假設在棱上存在點，使三棱錐是正三棱錐，過點作底面的垂線，垂足為，則為的中心，

在平面內，過作交于，

平面，平面，

這樣過平面外一點，有兩條直線與平面垂足，這與應過平面外有一條直線與平面垂直相矛盾，故假設不成立，

即在棱上不存在點，使三棱錐是正三棱錐.

（3）作交于，

平面， 平面，

交于點，連接，

，

平面，

是與為面的二面角的平面角，設為

，，，

，即

所以與為面的二面角的大小為.