【題目】如圖（1），等腰梯形
，
，
，
，
，
分別是
的兩個三等分點，若把等腰梯形沿虛線
、
折起，使得點
和點
重合，記為點
， 如圖（2）．
（1）求證：平面
平面
；
（2）求平面
與平面
所成銳二面角的余弦值．
【答案】（1）詳見解析；（2）
.
【解析】
（1）推導出
，
，從而
面
，由此能證明平面
平面
；
（2）過點
作
于
，過點作
的平行線交
于點
，則
面，以為原點，以
，
，
所在直線分別為
軸、
軸、
軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面
與平面
所成銳二面角的余弦值．
（1）證明：
四邊形
為等腰梯形，
，
，
，
，
是
的兩個三等分點，
四邊形是正方形，，
，且
，面，
又
平面，平面平面；
（2）過點作于點，過點作的平行線交于點，則面，
以為坐標原點，以，，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，如圖所示：
則
，
，
，
，
,
,
,
，
設平面的法向量
，
則
，取
，得
，
設平面的法向量
，
則
，∴
，取
，得：
，
設平面與平面所成銳二面角為
，
則
．
平面與平面所成銳二面角的余弦值為
．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
，
、
分別是橢圓短軸的上下兩個端點；
是橢圓的左焦點，P是橢圓上異于點、的點，
是邊長為4的等邊三角形．
（1）寫出橢圓的標準方程；
（2）設點R滿足：
，
．求證：
與
的面積之比為定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】橢圓
的上、下焦點分別為
，
，右頂點為B，且滿足
Ⅰ
求橢圓的離心率e；
Ⅱ設P為橢圓上異于頂點的點，以線段PB為直徑的圓經過點
，問是否存在過
的直線與該圓相切？若存在，求出其斜率；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設二階方矩陣
，則矩陣
所對應的矩陣變換為：
，其意義是把點
變換為點
，矩陣叫做變換矩陣.
（1）當變換矩陣
時，點
、
經矩陣變換后得到點分別是
、
，求經過點、的直線的點方向式方程；
（2）當變換矩陣
時，若直線上的任意點經矩陣變換后得到的點
仍在該直線上，求直線的方程；
（3）若點
經過矩陣
變換后得到點，且與關于直線
對稱，求變換矩陣.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某省的一個氣象站觀測點在連續4天里記錄的AQI指數M與當天的空氣水平可見度
（單位：cm）的情況如表1：
| 900 | 700 | 300 | 100 |
| 0.5 | 3.5 | 6.5 | 9.5 |
該省某市2017年11月份AQI指數頻數分布如表2：
|
|
|
|
|
|
頻數（天） | 3 | 6 | 12 | 6 | 3 |
<>（1）設
，若
與之間是線性關系，試根據表1的數據求出關于的線性回歸方程；（2）小李在該市開了一家洗車店，洗車店每天的平均收入與AQI指數存在相關關系如表3：
|
|
|
|
|
|
日均收入（元） | -2000 | -1000 | 2000 | 6000 | 8000 |
根據表3估計小李的洗車店2017年11月份每天的平均收入.
附參考公式：
，其中
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在等腰直角三角形
中，
，點
是邊
上異于
的一點，光線從點出發，經
反射后又回到原點，光線
經過
的重心.
（1）建立適當的坐標系，請求的重心
的坐標；
（2）求點的坐標；
（3）求
的周長及面積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓
的左焦點為
，右頂點為
，上頂點為
．
（1）已知橢圓的離心率為
，線段
中點的橫坐標為
，求橢圓的標準方程；
（2）已知△
外接圓的圓心在直線
上，求橢圓的離心率
的值．
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