Question

【題目】已知f（x）是定義域為（0，+∞）的單調函數，若對任意的x∈（0，+∞），都有 ，且方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在區間（0，3]上有兩解，則實數a的取值范圍是（ ）
A.0＜a≤5
B.a＜5
C.0＜a＜5
D.a≥5

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵定義域為（0，+∞）的單調函數f（x）

滿足f[f（x）+log x]=4，

∴必存在唯一的正實數a，

滿足f（x）+log x=a，f（a）=4，①

∴f（a）+log a=a，②

由①②得：4+log a=a，log a=a﹣4，

a=（ ）a﹣4，左增，右減，有唯一解a=3，

故f（x）+log x=a=3，

f（x）=3﹣log x，

由方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在區間（0，3]上有兩解，

即有|log x|=x3﹣6x2+9x﹣4+a，

由g（x）=x3﹣6x2+9x﹣4+a，g′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3），

當1＜x＜3時，g′（x）＜0，g（x）遞減；當0＜x＜1時，g′（x）＜0，g（x）遞增．

g（x）在x=1處取得最大值a，g（0）=a﹣4，g（3）=a﹣4，

分別作出y=|log x|，和y=x3﹣6x2+9x﹣4的圖象，可得

兩圖象只有一個交點，將y=x3﹣6x2+9x﹣4的圖象向上平移，

至經過點（3，1），有兩個交點，

由g（3）=1即a﹣4=1，解得a=5，

當0＜a≤5時，兩圖象有兩個交點，

即方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在區間（0，3]上有兩解．

故選：A．

由題設知必存在唯一的正實數a，滿足f（x）+log x=a，f（a）=4，f（a）+log a=a，故4+log a=a，log a=a﹣4，a=（ ）a﹣4，左增，右減，有唯一解a=3，故f（x）+log x=a=3，由題意可得|log x|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在區間（0，3]上有兩解，討論g（x）=x3﹣6x2+9x﹣4+a的單調性和最值，分別畫出作出y=|log x|，和y=x3﹣6x2+9x﹣4的圖象，通過平移即可得到a的范圍．