Question

【題目】已知橢圓：的四個頂點圍成的四邊形的面積為，原點到直線的距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知定點，是否存在過的直線，使與橢圓交于，兩點，且以為直徑的圓過橢圓的左頂點？若存在，求出的方程：若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，且方程為或.

【解析】

（1）依題意列出關于a,b,c的方程組，求得a,b,進而可得到橢圓方程；（2）聯立直線和橢圓得到，要使以為直徑的圓過橢圓的左頂點，則，結合韋達定理可得到參數值.

（1）直線的一般方程為.

依題意，解得，故橢圓的方程式為.

（2）假若存在這樣的直線，

當斜率不存在時，以為直徑的圓顯然不經過橢圓的左頂點，

所以可設直線的斜率為，則直線的方程為.

由，得.

由，得.

記，的坐標分別為，，

則，，

而 .

要使以為直徑的圓過橢圓的左頂點，則，

即 ，

所以 ，

整理解得或，

所以存在過的直線，使與橢圓交于，兩點，且以為直徑的圓過橢圓的左頂點，直線的方程為或.