Question

【題目】已知點，動點到直線：的距離為，且，設動點的軌跡為曲線.

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）過點作互相垂直的兩條直線，分別交曲線于點，和，，若四邊形面積為，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）和.

【解析】

（Ⅰ）設點，然后根據直接法求解可得曲線方程．（Ⅱ）設出直線的方程為或，然后利用代數法求出和，并根據四邊形的面積可求出直線方程中的參數，進而得到直線方程．

（Ⅰ）設，

∵，

∴，

整理得曲線的方程為．

（Ⅱ）解法一：①當直線的斜率為0時，則，，

∴四邊形的面積.

②當直線的斜率不為0時，設直線的方程為，

由消去得.

由已知可知恒成立，

設，，

則，，

∴ ．

∵直線，互相垂直，

∴以替換上式中的可求得，

∴四邊形的面積，

解得，

∴直線的方程為或，

即和.

解法二：①當直線的斜率不存在時，可求出，，，.

∴，，

∴四邊形的面積.

②當直線的斜率存在且不為0時，設直線的方程為，

由消去得.

由已知可知恒成立，

設，，

則，.

∴ ．

∵直線，互相垂直，

∴用替換上式中的可求得.

∴四邊形的面積，

解得，

∴直線的方程為或，

即和．