Question

在平面直角坐標系中，點P到兩點F₁（0，-

3

)，F₂（0，

3

)的距離之和等于4，動點P的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設直線y=kx+1與曲線C交于A、B兩點，當OA⊥OB（O為坐標原點），求k的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設P（x，y），由橢圓定義知，點P的軌跡是以兩點F₁（0，-

3

)，F₂（0，

3

)為焦點，a=2的橢圓，由此能求出曲線C的方程．
（2）聯立

y=kx+1 y2 4 +x2=1

，得（k²+4）x²+2kx-3=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由OA⊥OB，能求出k的值．

解答： 解：（1）設P（x，y），由橢圓定義知，
點P的軌跡是以兩點F₁（0，-

3

)，F₂（0，

3

)為焦點，a=2的橢圓，
∴b²=4-3=1．
∴曲線C的方程為x2+

y2

4

=1．
（2）聯立

y=kx+1 y2 4 +x2=1

，得（k²+4）x²+2kx-3=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=-

2k

k2+4

，x1x2=-

3

k2+1

，
∵OA⊥OB，∴

OA

•

OB

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
又y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
∴x₁x₂+y₁y₂=-

3

k2+4

-

3k2

k2+4

-

2k2

k2+4

+1=

-4k2+1

k2+4

=0，
解得k=±

1

2

．

點評：本題考查曲線方程的求法，考查直線的斜率的求法，解題時要認真審題，注意向量垂直的性質的靈活運用．