Question

設函數f（x）=（

x

a

-1）²+（

b

x

-1）²，其中x∈（0，+∞），設t=

x

a

+

b

x

（1）當a=1，b=4時，用t表示f（x），并求出f（x）的最小值；
（2）設k＞0，當a=k²，b=（k+1）²時，若1≤f（x）≤9對任意x∈[a，b]恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（1）利用基本不等式可得t的取值范圍，通過配方和利用乘法公式即可得出f（x）用t表示的表達式，再利用二次函數的單調性即可得出；
（2）利用導數可得t的取值范圍，再利用二次函數的單調性即可得出k的取值范圍．

解答： 解：（1）當a=1，b=4時，又x＞0，∴t=x+

4

x

≥2

x• 4 x

=4．當且僅當x=2時取等號．
∴x2+(

4

x

)2=(x+

4

x

)2-8=t²-8．
∴f（x）=(x-1)2+(

4

x

-1)2=x2+(

4

x

)2-2(x+

4

x

)+2=t²-8-2t+2=t²-2t-6=g（t）
∴g（t）=（t-1）²-7，t∈[4，+∞）．
∴當t=4時，g（t）取得最小值2，即x=2時函數f（x）取得最小值2．
（2）∵t=

x

a

+

b

x

，x∈[a，b]．∴t′=

1

a

-

b

x2

=

x2-ab

ax2

=

(x+ ab )(x- ab )

ax2

，
令t′=0，解得x=

ab

．
當a≤x＜

ab

時，t′＜0，此時函數t（x）單調遞減；當

ab

＜x≤b時，t′＞0，此時函數t（x）單調遞增．
∴當x=

ab

時，函數t（x）取得最小值，t(

ab

)=2

b a

=

2 ab

a

．
又t（a）=t（b）=1+

b

a

，∴t∈[

2 ab

a

，1+

b

a

]．
∴f（x）=（

x

a

-1）²+（

b

x

-1）²=(

x

a

+

b

x

)2-

2b

a

-2(

x

a

+

b

x

)+2=t2-2t+2-

2b

a

=g（t）.t∈[

2 ab

a

，1+

b

a

]．
∵k＞0，a=k²，b=（k+1）²，
∴t∈[

2(k+1)

k

，1+

(k+1)2

k2

]．即t∈[2+

2

k

，2+

2

k

+

1

k2

]（k＞0）．
∴g（t）=(t-1)2+1-

2b

a

=（t-1）²-1-

4

k

-

2

k2

，
當t=2+

2

k

時，g（t）取得最小值，g(2+

2

k

)≥1；
當t=2+

2

k

+

1

k2

時，g（t）取得最大值，g(2+

2

k

+

1

k2

)≤9．
聯立

g(2+ 2 k )≥1 g(2+ 2 k + 1 k2 )≤9

，化為

2 k2 ≥1 4 k2 + 4 k3 + 1 k4 ≤9

，解得1≤k≤

2

．
∴k的取值范圍是[1，

2

]．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、二次函數的單調性，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．