Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱為2，底面是邊長為2的等邊三角形，D，E分別是線段BC，B₁C₁的中點．
（1）證明：A₁E∥平面AC₁D；
（2）證明：平面AC₁D⊥平面BCC₁B₁；
（3）求三棱錐B-AC₁D的體積．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）先證明出四邊形ADEA₁是平行四邊形推斷出A₁E∥AD，利用線面平行的判定定理推斷出A₁E∥平面AC₁D．
（2）先證明出AD⊥BC，CC₁⊥AD利用線面垂直的判定定理證明出AD?平面AC₁D，則平面AC₁D⊥平面BCC₁B₁可證．
（3）根據等邊三角形的三邊長求得△ADB的面積，已知棱錐的高為2，利用棱錐的體積公式求得答案．

解答： （1）證明：連接ED，則ED∥BB₁∥AA₁，且ED=BB₁=AA₁
∴四邊形ADEA₁是平行四邊形，A₁E∥AD，
∵AD?平面AC₁D，A₁E?平面AC₁D，
∴A₁E∥平面AC₁D．
（2）證明：∵△ABC是等邊三角形
∴AD⊥BC，
∵CC₁⊥平面ABC，AD?平面ABC
∴CC₁⊥AD，
∵BC∩CC₁=C，
∴AD⊥平面BCC₁B₁
∵AD?平面AC₁D
∴平面AC₁D⊥平面BCC₁B₁
（3）解：BD=1，三棱錐B-AC₁D的體積VB-AC1D=VC1-ABD=

1

3

×

1

2

BD•AD•CC1=

1

3

×

1

2

×1×

3

×2=

3

3

點評：本題主要考查了線面平行的判定定理，面面垂直的判定．考查了學生立體幾何基礎知識的綜合運用．