Question

等比數列{a_n}的各項均為正數，且2a₁+3a₂=1，a₃²=9a₂a₆．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=log₃a₁+log₃a₂+…log₃a_n，若c_n=-

1

bn

，求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由a₃²=9a₄²和各項均為正數，得q=

1

3

．由2a₁+3a₂=1，得a₁=

1

3

，由此能求出數列{a_n}的通項式．
（2）由已知條件推導出

1

bn

=-

2

n(n+1)

=-2（

1

n

-

1

n+1

），由此能求出數列{c_n}的前n項和．

解答： 解：（1）設數列{a_n}的公比為q，
由a₃²=9a₂a₆，
得a₃²=9a₄²，∴q²=

1

9

，
由條件可知各項均為正數，∴q=

1

3

．
由2a₁+3a₂=1得2a₁+3a₁q=1，∴a₁=

1

3

．
∴數列{a_n}的通項式為a_n=

1

3n

．
（2）∵a_n=

1

3n

，
∴b_n=log₃a₁+log₃a₂+…log₃a_n
=-（1+2+…+n）
=-

n(n+1)

2

，
∴

1

bn

=-

2

n(n+1)

=-2（

1

n

-

1

n+1

），
∵c_n=-

1

bn

，
∴S_n=-（

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

）
=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=

2n

n+1

，
∴數列{c_n}的前n項和為

2n

n+1

．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．