Question

【題目】已知用“斜二測”畫圖法畫一個水平放置的圓時，所得圖形是橢圓，則該橢圓的離心率為_______

Answer 1

【答案】

【解析】

為了簡化問題，我們可以設單位圓x+y=1，先求出單位圓直觀圖的方程(x-y)+8y=1. 畫出圓的外切正方形，和橢圓的外切平行四邊形，橢圓經過了適當旋轉，OC即為橢圓的a，OD即為橢圓的b，根據橢圓上的點到原點的距離最大為a，最小為b，我們可以求出a和b，從而推導出離心率.

為了簡化問題，我們可以設單位圓x+y=1，即圓上的點P（cosθ，sinθ），第一步變換，到它在x軸的投影的距離縮短一半，即（cosθ，0.5sinθ），第二步變換，繞著投影點順時針旋轉45°，即（cosθ+sinθ，sinθ），所以據此得到單位圓的直觀圖的參數方程為，x=cosθ+sinθ，y=sinθ，θ為參數，消去參數可得方程為，(x-y)+8y=1.

得到單位圓的直觀圖后，和上面一樣，我們畫出圓的外切正方形，和橢圓的外切平行四邊形，當然就相當完美了！A、B處均與橢圓相切，并且可以輕易發現，橢圓的長軸其實已經不在x軸上了

該橢圓經過了適當旋轉，OC即為橢圓的a，OD即為橢圓的b，根據橢圓上的點到原點的距離最大為a，最小為b，我們可以求出a和b，從而推導出離心率.

橢圓上的點（cosθ+sinθ，sinθ）到原點的距離的平方為

=，

所以，

所以

故答案為：