Question

【題目】已知中心在原點的雙曲線的右焦點為,右頂點為.

（1）求雙曲線的方程；

（2）若直線與雙曲線恒有兩個不同的交點和，且(其中為坐標原點)，求實數取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）－y2＝1

（2）(－1，－)∪(，1)

【解析】

(1)設雙曲線C的方程為－＝1(a>0，b>0)．

由已知得a＝，c＝2，再由c2＝a2＋b2得b2＝1，

所以雙曲線C的方程為－y2＝1．

(2)將y＝kx＋代入－y2＝1中，整理得(1－3k2)x2－6kx－9＝0，

由題意得

，

故k2≠且k2<1 ①．

設A(xA，yA)，B(xB，yB)，則xA＋xB＝，xAxB＝，

由·>2得xAxB＋yAyB>2，

xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2＝(k2＋1)·＋k·＋2＝，

于是>2，即>0，解得<k2<3 ②．

由①②得<k2<1，

所以k的取值范圍為(－1，－)∪(，1)．