Question

對于定義域為D的函數y=f（x）和常數c，若對任意正實數ξ，?x∈D，使得0＜|f（x）-c|＜ξ恒成立，則稱函數y=f（x）為“斂c函數”，現給出如下函數：
①f（x）=x（x∈Z）；
②f（x）=（

1

2

）^x+2（x∈Z）；
③f（x）=log₂x+1；
④f（x）=

2x-1

2x

．
其中為“斂2函數”的有（　　）

• A、①②
• B、③④
• C、①②③
• D、②③④

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用,進行簡單的合情推理

專題：函數的性質及應用

分析：①對任意正實數ξ，不?x∈Z，使得0＜|x-2|＜ξ恒成立，例如：取ξ=

1

2

；
②對任意正實數ξ，?x∈Z且x＞log

1

2

ξ，使得0＜|(

1

2

)x+2-2|＜ξ恒成立；
③對任意正實數ξ，?x∈（0，+∞）且2^1-ξ＜x＜2^1-ξ（x≠2），使得0＜|log₂x+1-2|＜ξ恒成立；
④對任意正實數ξ，?x∈（-∞，0）∪（0，+∞）且x＜

-1

2+2ξ

，使得0＜|

2x-1

2x

-2|＜ξ恒成立．

解答： 解：①對任意正實數ξ，不?x∈Z，使得0＜|x-2|＜ξ恒成立，例如：取ξ=

1

2

，因此不是“斂2函數”；
②對任意正實數ξ，?x∈Z且x＞log

1

2

ξ，使得0＜|(

1

2

)x+2-2|＜ξ恒成立，因此是“斂2函數”；
③對任意正實數ξ，?x∈（0，+∞）且2^1-ξ＜x＜2^1-ξ（x≠2），使得0＜|log₂x+1-2|＜ξ恒成立，因此是“斂2函數”；
④對任意正實數ξ，?x∈（-∞，0）∪（0，+∞）且x＜

-1

2+2ξ

，使得0＜|

2x-1

2x

-2|＜ξ恒成立，因此是“斂2函數”．
綜上可知：只有②③④是“斂2函數”．
故選：D．

點評：本題考查了新定義“斂c函數”、極限的定義，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．