Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁與平面ACD₁所成角的正弦值為（　　）

• A、

  2

  3

• B、

  3

  3

• C、

  2

  3

• D、

  6

  3

Answer 1

考點：直線與平面所成的角

專題：計算題,空間角

分析：根據線面成角的定義，確定線面角，然后根據三角形的邊角關系即可得到結論．

解答： 解：連接B₁D，BD，則：AC⊥BD，
又AC⊥BB₁，∴AC⊥平面BB₁D，∴B₁D⊥AC，
同理B₁D⊥AD₁，∴B₁D⊥平面ACD₁；
設B₁D交平面ACD₁于E，連接EA，EC，ED₁，B₁D₁，B₁A，B₁C，
則容易證明△B₁ED₁，△B₁EC，△B₁EA，三個三角形全等，
取CD₁中點F，連接EF，則EF⊥CD₁，∠ED1F=

π

6

，
設正方體的棱長為a，則CD1=

2

a，D1F=

2

2

a，D1E=

2 2

3 2

=

6

3

；
通過前面知∠DD₁E是DD₁和平面ACD₁所成的角，
又BB₁∥DD₁，
∴它也是BB₁與平面ACD₁所成角，則：
cos∠DD₁E=

D1E

DD1

=

6 3 a

a

=

6

3

，
∴sin∠DD₁E=

3

3

．
故選B．

點評：本題考查線面角的定義，線面垂直的判定．要學會本題找線面角的過程，而求解本題的關鍵是找BB₁與平面ACD₁所成的角，轉化成找DD₁該平面所成的角，再一點，通過觀察圖形連接B₁D．