Question

設函數f（x）在區間（a，b）的導函數為f′（x），f′（x）在區間（a，b）的導函數記為f″（x），若在區間（a，b）上的f″（x）＜0恒成立，則稱函數f（x）在區間（a，b）上為“凸函數”．已知函數f（x）=

1

6

x⁴-

1

3

mx³-4x²+2，且當實數m滿足|m|＜3時，函數f（x）在區間（a-b，a+b）為“凸函數”，則a²+（b-3）²的最小值為（　　）

• A、2
• B、4
• C、6
• D、8

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：根據“凸函數”的定義，求出對應的求解，利用線性規劃的應用即可得到結論．

解答： 解：∵f（x）=

1

6

x⁴-

1

3

mx³-4x²+2，
∴f′（x）=4×

1

6

x³-mx²-8x，
f″（x）=2x²-2mx-8，
當|m|＜3時，f″（x）=2x²-2mx-8＜0恒成立，
即x²-mx-4＜0恒成立，
?當-3＜m＜3時，g（m）=-xm+x²-4＜0恒成立，
即

g(3)≤0 g(-3)≤0

，

-3x+x2-4≤0 3x+x2-4≤0

，
即

-1＜x＜4 -4＜x＜1

，解得-1＜x＜1．
則（a-b，a+b）⊆（-1，1），
即

a+b≤1 a-b≥-1 a-b＜a+b

，作出不等式組對應的平面區域如圖：
a²+（b-3）²的幾何意義是動點P（a，b）到定點D（0，3）的距離的平方，由圖象可知，當P位于A（0，1）時，
a²+（b-3）²的最小值為0²+（1-3）²=4，
故選：B．

點評：本題主要考查新定義的應用，利用導數結合二次函數，線性規劃以及距離公式是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．