Question

【題目】已知中，角，，所對的邊分別是，，，且點，，動點滿足（為常數且），動點的軌跡為曲線.

（Ⅰ）試求曲線的方程；

（Ⅱ）當時，過定點的直線與曲線交于，兩點，是曲線上不同于，的動點，試求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（），（2）當的方程為時，的面積最大，最大值為.

【解析】試題分析：（Ⅰ） ，即點的軌跡是以為焦點， 的橢圓；（Ⅱ）根據（Ⅰ）的結果可知方程為 ，斜率不存在時，面積無最大值，當斜率存在時，設直線為，與其平行并且和橢圓相切時三角形的面積最大，所以根據方程聯立后的根與系數的關系表示弦長和平行線間的距離得到，表示為關于的函數，計算函數的最大值.

試題解析：（Ⅰ）在中，因為，所以（定值），且，

所以動點的軌跡為橢圓（除去、與共線的兩個點）.

設其標準方程為，所以，

所以求曲線的軌跡方程為（），

（Ⅱ）當時，橢圓方程為.

①過定點的直線與軸重合時，面積無最大值，

②過定點的直線不與軸重合時,

設方程為：，、，

若，因為，故此時面積無最大值.

根據橢圓的幾何性質，不妨設，

聯立方程組消去整理得：，

所以則.

因為當直線與平行且與橢圓相切時，切點到直線的距離最大，

設切線：，

聯立消去整理得，

由，解得.

又點到直線的距離，

所以，

所以.將代入得：，

令，設函數，則，

因為當時，，當時，，

所以在上是增函數，在上是減函數，所以.

故時，面積最大值是.

所以，當的方程為時，的面積最大，最大值為.