Question

【題目】如圖，四邊形是梯形.四邊形是矩形.且平面平面，，，，是線段上的動點.

（Ⅰ）試確定點的位置，使平面，并說明理由；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）當點是中點時，連結,交于點，連結，根據中位線可知，即平面；（Ⅱ）以點為原點建立空間直角坐標系，分別求兩個平面的法向量，求.

試題解析：（Ⅰ）當是線段的中點時，平面，

證明如下：

連接，交于，連接，

由于、分別是、的中點，所以，

由于平面，又不包含于平面，

∴平面.

（Ⅱ）方法一：過點作平面與平面的交線，

∵平面，∴，

過點作于，

∵平面平面，，

∴平面，∴平面平面，

∴平面，

過作于，連接，則直線平面，∴，

設，則，，，則，

∴，

∴所求二面角的余弦值為.

方法二：

∵平面平面，，

∴平面，可知、、兩兩垂直，

分別以、、的方向為，，軸，

建立空間直角坐標系.

設，則，，，，

設平面的法向量，

則，∴，

令，得平面的一個法向量，

取平面的法向量，

由，

∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為.