Question

【題目】如圖，正方體是一個棱長為2的空心蔬菜大棚，由8個鋼結構（地面沒有）組合搭建而成的，四個側面及頂上均被可采光的薄膜覆蓋，已知為柱上一點（不在點、處），（），菜農需要在地面正方形內畫出一條曲線將菜地分隔為兩個不同的區域來種植不同品種的蔬菜以加強管理，現已知點為地面正方形內的曲線上任意一點，設、分別為在點處觀測和的仰角.

（1）若，請說明曲線是何種曲線，為什么？

（2）若為柱的中點，且時，請求出點所在區域的面積.

Answer 1

【答案】（1），圓的一部分；見解析（2）

【解析】

（1）平面中，以為原點，以為軸建立平面直角坐標系，設，由可得，從而可求出軌跡方程.

（2）由可得，結合為柱的中點可求出在正方形內部，且在內，結合圖形，利用間接法求出區域面積.

（1）解：在平面中，以為原點，以為軸建立平面直角坐標系，

則，由底面，底面，可知.

則，，設，則，

所以,，又，則，

所以 ，整理得，，

所以曲線是圓的一部分.

（2）由，且均為銳角，則，由題意知，，由，

則在正方形內部，且在內，點所在區域如圖陰影所示

圓的圓心為，半徑.，所以，

所以，，所以扇形面積，

又，

則陰影的面積.