Question

【題目】已知函數的定義域為區間，若對于內任意，都有成立，則稱函數是區間的“函數”.

（1）判斷函數（）是否是“函數”？說明理由；

（2）已知，求證：函數（）是“函數”；

（3）設函數是,（）上的“函數”，，且存在使得，試探討函數在區間上零點個數，并用圖象作出簡要的說明（結果不需要證明）.

Answer 1

【答案】（1）是，理由見解析；（2）證明見解析；（3）0、1或2個，圖象見解析.

【解析】

(1)由題意直接判斷即可； (2)由題意直接判斷即可； (3)舉例即可得出結論．

(1)是，理由如下：

任取，且，

則成立，

故函數是“函數”.

(2)證明：事實上，任取，且，

則成立，即得證；

(3)函數在上的零點個數可以為0、1或2個.

例如，是函數，如圖，

其零點個數為0；

是函數，如圖，

其零點個數為1；

是函數，如圖，

其零點個數為2；

函數不可能有個零點，假設均是零點，且，

則由可知，勢必上恒大于，從而導致矛盾.