Question

【題目】如圖，在三棱柱中，側面是菱形，且，平面平面，，，O為的中點.

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）根據題意先證明平面得，證明平面，即可求證；（2）分別以,,為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用面面角公式求解.

(1)如圖,連接，，

在矩形中，，O為的中點，

所以，

因為,

所以為正三角形，

又O為的中點，所以，

又平面平面，平面平面，

平面，

所以平面，

又平面，

所以，

又，

所以平面

又平面，

所以

（2）取的中點,連接,則

所以OA, OB ,OE兩兩垂直，

如圖,以為坐標原點,分別以,,為x軸,y軸,z軸的正方向,

建立空間直角坐標系,

則

設平面OBC的法向量為

則，即

令,

得是平面OBC的一個法向量，

設平面的法向量為

則，即

令, 得平面的一個法向量為

則

由圖知二面角為銳二面角，

所以二面角的余弦值為.