Question

【題目】已知函數，為的導數，函數在處取得最小值．

（1）求證：；

（2）若時，恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（1）對求導，令，求導研究單調性，分析可得存在使得，即，即得證；

（2）分，兩種情況討論，當時，轉化利用均值不等式即得證；當，有兩個不同的零點，，分析可得的最小值為，分，討論即得解.

（1）由題意，

令，則，知為的增函數，

因為，，

所以，存在使得，即．

所以，當時，為減函數，

當時，為增函數，

故當時，取得最小值，也就是取得最小值．

故，于是有，即，

所以有，證畢．

（2）由（1）知，的最小值為，

①當，即時，為的增函數，

所以，

，

由（1）中，得，即．

故滿足題意．

②當，即時，有兩個不同的零點，，

且，即，

若時，為減函數，（*）

若時，為增函數，

所以的最小值為．

注意到時，，且此時，

（ⅰ）當時，，

所以，即，

又

，

而，所以，即．

由于在下，恒有，所以．

（ⅱ）當時，，

所以，

所以由（*）知時，為減函數，

所以，不滿足時，恒成立，故舍去．

故滿足條件．

綜上所述：的取值范圍是．