Question

已知f（x）是可導的函數，且f′（x）＜f（x）對于x∈R恒成立，則（　　）

A．f（1）＜ef（0），f（2013）＞e²⁰¹³f（0）

B．f（1）＞ef（0），f（2013）＞e²⁰¹³f（0）

C．f（1）＞ef（0），f（2013）＜e²⁰¹³f（0）

D．f（1）＜ef（0），f（2013）＜e²⁰¹³f（0）

Answer 1

分析：構造函數g(x)=

f(x)

ex

，利用導數判斷其單調性即可得出．

解答：解：令g(x)=

f(x)

ex

，則g′(x)=

exf′(x)-exf(x)

(ex)2

=

f′(x)-f(x)

ex

＜0．
∴函數g（x）在R上單調遞減．
∴g（1）＜g（0），g（2013）＜g（0）．
即

f(1)

e

＜

f(0)

1

，

f(2013)

e2013

＜

f(0)

e0

，
化為f（1）＜ef（0），f（2013）＜e²⁰¹³f（0）．
故選D．

點評：本題是一個知識點交匯的綜合題，考查綜合運用函數思想解題的能力．恰當構造函數g(x)=

f(x)

ex

，利用導數判斷其單調性是解題的關鍵．