Question

（2010•寶山區模擬）雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1上一點(2，

3

)到左，右兩焦點距離的差為2．
（1）求雙曲線的方程；
（2）設F₁，F₂是雙曲線的左右焦點，P是雙曲線上的點，若|PF₁|+|PF₂|=6，求△PF₁F₂的面積；
（3）過（-2，0）作直線l交雙曲線C于A，B兩點，若

OP

=

OA

+

OB

，是否存在這樣的直線l，使OAPB為矩形？若存在，求出l的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1上一點(2，

3

)到左，右兩焦點距離的差為2．知a=1，把點(2，

3

)代入，得b=1．由此能求出雙曲線方程．
（2）設P在第一象限，則

|PF1| -|PF2|=2 |PF1| +|PF2|=6

，解得|PF₁|=4，|PF₂|=2，由此能求了△PF₁F₂的面積．
（3）若直線斜率存在，設為y=k（x+2），代入x²-y²=1，得（1-（1-k²）x²-4k²x-4k²-1=0（k≠±1），若平行四邊形OAPB為矩形，則OA⊥OB，由此能求出不存在直線l，使OAPB為矩形．

解答：解：（1）∵雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1上一點(2，

3

)到左，右兩焦點距離的差為2．
∴a=1，雙曲線方程為x2-

y2

b2

=1，
把點(2，

3

)2，

3

）代入，得b=1．
∴雙曲線方程為：x²-y²=1．
（2）設P在第一象限，則

|PF1| -|PF2|=2 |PF1| +|PF2|=6

，
解得|PF₁|=4，|PF₂|=2，
∴cos∠F1PF2=

3

4

，
∴sin∠F1PF=

7

4

，
∴△PF₁F₂的面積S=

7

．
（3）若直線斜率存在，設為y=k（x+2），代入x²-y²=1，
得（1-（1-k²）x²-4k²x-4k²-1=0（k≠±1），
若平行四邊形OAPB為矩形，則OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴

k2+1

k2-1

=0無解．
若直線垂直x軸，則A（-2，

3

），B（-2，

3

）不滿足．
故不存在直線l，使OAPB為矩形．

點評：本題主要考查雙曲線標準方程，簡單幾何性質，直線與雙曲線的位置關系，雙曲線的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．