Question

【題目】如圖，在三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，且，，分別為，的中點．

（1）求證：平面；

（2）求直線和平面所成角的正切值；

（3）求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）

【解析】

（1）根據等腰三角形三線合一,可知.根據平面與平面垂直的性質即可證明平面;

（2）連結,由（1）可知是直線和平面所成角.根據三角形中線段關系,即可求得和,進而求得即可.

（3）根據三棱錐體積,即可由三棱錐的體積公式求解.

（1）證明：∵,為的中點,

∴,

∵平面平面,平面,

∴平面；

（2）連結,由（1）得平面,

∴是直線和平面所成角,

在等腰直角三角形中,,所以,,

在等邊中,為的中點,

∴,,

∵平面,平面,

∴,

∴,

即直線和平面所成角的正切值為；

（3）因為,．

所以等邊三角形的面積．

又因為平面,

所以,

所以三棱錐的體積為．