Question

已知點(diǎn)（1，

1

3

）是函數(shù)f（x）=a^x（a＞0，a≠1）的圖象上一點(diǎn)．等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為f（n）-c．?dāng)?shù)列{b_n}（b_n＞0）的首項(xiàng)為c，且前n項(xiàng)和S_n滿足Sn-Sn-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n]的通項(xiàng)公式；   
（2）若數(shù)列{

1

bnbn+1

}的前n項(xiàng)和為T_n，問滿足T_n＞

1001

2012

的最小正整數(shù)n是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)條件建立方程關(guān)系求出首項(xiàng)和公比，即可求出數(shù)列{a_n}和{b_n]的通項(xiàng)公式，
（2）求出數(shù)列{

1

bnbn+1

}的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)法即可求出T_n．

解答： 解：（1）∵點(diǎn)（1，

1

3

）是函數(shù)f（x）=a^x（a＞0，a≠1）的圖象上一點(diǎn)，
∴f（1）=a=

1

3

，
則f（x）=（

1

3

）^x．
a₁=f（1）-c=

1

3

-c，a₂=[f（2）-c]-[f（1）-c]=-

2

9

，
a₃=[f（3）-c]-[f（2）-c]=-

2

27

，
∵{a_n}是等比數(shù)列，
∴a1=

a 2 2

a3

=

4 81

- 2 27

=-

2

3

=

1

3

-c，解得c=1，
又公比q=

a2

a1

=

1

3

，∴an=-

2

3

(

1

3

)n-1=-2(

1

3

)n．
∵Sn-Sn-1=

Sn

+

Sn-1

=(

Sn

-

Sn-1

)(

Sn

+

Sn-1

)（n≥2）．
b_n＞0，
∴

Sn

＞0，
則

Sn

-

Sn-1

=1，
∴數(shù)列{

Sn

}構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差d=1的等差數(shù)列，
∴

Sn

=1+（n-1）=n，即Sn=n2．
當(dāng)n≥2，b_n=2n-1．
bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，
當(dāng)n=1時(shí)，也適合上式．
則b_n=2n-1．
（2）

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
則T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

．
由T_n=

n

2n+1

＞

1001

2012

，得n＞

1001

10

，
即滿足T_n＞

1001

2012

的最小正整數(shù)n是101．

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列的求和，利用裂項(xiàng)法是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計(jì)算能力．