Question

【題目】如圖，四邊形是邊長為2的菱形，且，平面，，，點是線段上任意一點．

(1)證明：平面平面；

(2)若的最大值是，求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2)

【解析】

（1）推導出AC⊥BM，AC⊥BD，得AC⊥平面BMND，從而可得到證明;（2）由AE＝CE和余弦定理可知，當AE最短即AE⊥MN，CE⊥MN時∠AEC最大，取MN中點H，連接H與AC、BD的交點O，知OH⊥平面ABCD，分別以直線，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，設，利用二面角的平面角為，可求出a,然后利用VM﹣NAC＝VM﹣EAC+VN﹣EAC可得結果.

(1)因為平面，則.

又四邊形是菱形，則，又,

所以平面,因為AC在平面內，

所以平面平面.

(2)設與的交點為，連結. 因為平面，則，又為的中點，則，由余弦定理得，．當AE最短時∠AEC最大，此時，，，因為AC=2,,OE=. 取MN的中點H，分別以直線，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，

設，則點， ，，．設平面的法向量，

則,即 ，取，則，

同理求得平面的法向量.

因為是二面角 的平面角，則

，解得或．

由圖可知a<OE=,故 (舍去)，，

因為，，，

則.